Resumen
En este trabajo se estudia la completitud geodésica y su estabilidad en variedades lorentzianas. Comenzamos contextualizando el trabajo e indicando las nociones básicas de variedades diferenciables que se van a utilizar. Posteriormente se estudiará la holonomía de una variedad afín, así como un resultado sobre completitud geodésica en este tipo de variedades. Después, se define una topología en el espacio de las métricas lorentzianas de una variedad, lo que da una base para el estudio de la estabilidad de la completitud y de la incompletitud. Se presentan condiciones suficientes para la estabilidad de estas dos propiedades. Finalmente, recopilando lo que se ha estudiado en los anteriores capítulos, nos planteamos si existen variedades lorentzianas en las que podamos omitir alguna de las condiciones suficientes de estabilidad o si, de lo contrario, podemos relajar los criterios de estabilidad. Éste será el caso de espaciotiempos con varios finales tipo Lorentz-Minkowski, esto es, variedades lorentzianas que, fuera de un compacto, tienen componentes isométricas al espacio de Lorentz-Minkowski. Para encontrar resultados de estabilidad, las conexiones próximas a la de Levi-Civita y las de la segunda forma fundamental de la región compacta serán esenciales. Sobre la región compacta, se introducirá un concepto de completitud que se verificará automáticamente si su holonomía es precompacta. Finalmente, se obtendrá un resultado general de completitud y estabilidad para espaciotiempos con varios finales Lorentz-Minkowski.
In this work, the properties of completeness and stability of completeness in Lorentzian manifolds are studied. We start contextualizing the work and introducing basic notions of differentiable manifolds. Then, holonomy of affine manifolds will be studied, as well as a result on geodesic completeness in this kind of manifolds. After this, we will define a topology in the space of Lorentzian metrics, in order to provide a basis to study stability of completeness and incompleteness. Sufficient conditions for the stability of these properties are presented. Finally, using the results studied in the previous chapters, we wonder if in some kind of Lorentzian manifolds we can omit one of the stability conditions, or if we can relax the stability criteria. In this last case, we find spacetimes with several Lorentz-Minkowski ends, that is, Lorentzian manifolds that, out of a compact set, have isometric components to Lorentz-Minkiowski space. To find stability results in this kind of manifolds, the Levi-Civita connection and the second fundamental form become essential. In the compact region, a completeness concept will be introduced, that will be directly verified if its holonomy is precompact. In the end, a general result on completeness and stability will be obtained for spacetimes with several Lorentz-Minkowski ends.