Descripción
El objeto principal de este minicurso es dar una introducci ́on a la teor ́ıa de superficies de curvatura media constante en espacios homog ́eneos riemannianos 3-dimensionales simplemente conexos con grupo de isometr ́ıas de dimensi ́on 4. Dichos espacios est ́an contenidos en una familia E(κ, τ ), que depende de dos par ́ametros κ, τ ∈ R e incluye geometr ́ıas de Thurston como los espacios de curvatura constante R3 y S3, los produc- tos H2 × R y S2 × R, o los grupos de Lie Nil3, SU(2) y SL2(R) con ciertas m ́etricas invariantes a izquierda.
La teor ́ıa de superficies de curvatura media constante en E(κ,τ) es un campo de in- vestigaci ́on muy activo que ha recibido una atenci ́on considerable durante las u ́ltimas d ́ecadas. A lo largo del curso se discutir ́an de forma detallada algunos de los resultados m ́as destacados en la teor ́ıa, como pueden ser la existencia de diferenciales cuadr ́aticas holomorfas y de aplicaciones arm ́onicas con significado geom ́etrico, las corresponden- cias de tipo isom ́etrico y conforme que conectan las teor ́ıas en distintos espacios, o la soluci ́on del problema de Bernstein para superficies de curvatura media cr ́ıtica. En este proceso, se tratar ́a una selecci ́on de t ́ecnicas t ́ıpicas de esta teor ́ıa, que compren- de tanto ideas originalmente desarrolladas para superficies en espacios de curvatura constante como otras que s ́olo tienen sentido en este contexto m ́as general.