Descripción
**Hora de inicio:** 11:00. **Hora de fin:** 12:00.
Las opéradas son unas estructuras algebraicas que nos ayudan a organizar las
operaciones que actúan sobre determinados objetos matemáticos cuando estas
son muy complicadas. Dichas herramientas han sido desarrolladas con
intensidad durantes los pasados cuarenta años y aplicadas con éxito a la
resolución de problemas de orígenes muy diversos, matemáticos y físicos.
A lo largo de cuatro charlas introduciremos a la audiencia a los aspectos
básicos de la teoría a través de ejemplos ilustrativos. Sus contenidos
aproximados serán los siguientes:
1. Opéradas no simétricas.
Las opéradas codifican tipos de álgebras definidos por aplicaciones
multilineales. Las opéradas no simétricas son aptas cuando las relaciones
entre dichas operaciones no implican cambios de orden (por ejemplo, las
álgebras conmutativas no serían apropiadas). En esta sección introduciremos
las opéradas no simétricas y sus álgebras.
2. Opéradas simétricas y aspectos categóricos.
Las opéradas simétricas son necesarias para tratar aquellos tipos de
álgebras cuyas relaciones se expresen permutando las de entradas (por
ejemplo, las conmutativas y las de Lie). Introduciremos aquí las opéradas
simétricas y sus álgebras y las relacionaremos con las no simétricas.
Además estudiaremos algunas propiedades de las categorías de álgebras, como
los límites, los objetos libres, las presentaciones, los funtores de cambio
de opérada, etc.
3. Las categorías de opéradas no simétricas y simétricas.
En esta sección consideraremos propiedades de la categoría de las opéradas,
en sus versiones simétrica y no simétrica. Un objetivo principal será la
descripción de las opéradas libres. Esto nos permitirá manejar opéradas
presentadas por generadores y relaciones.
Una interesante teoría que hace un uso crucial de las presentaciones de
opéradas es la dualidad de Koszul, introducida por Ginzburg y Kapranov en
1995. Dicha teoría arroja luz sobre dualidades anteriormente conocidas en
categorías de álgebras, como la dualidad de Koszul en álgebras asociativas
(Priddy, 1970) y la dualidad entre álgebras conmutativas y de Lie (Quillen,
1969-70). Además esta teoría permite generalizar y estudiar sistemáticamente
lo que tradicionalmente se conoce como álgebras homotópicas, cuyos
principales ejemplos son las álgebras A-infinito y L-infinito, que
generalizan a las asociativas y de Lie respectivamente.
4. Opéradas de Hopf.
Es razonable plantearse qué tipo de opéradas poseen una estructura monoidal
en su categoría de álgebras, es decir, cuándo el producto tensorial de dos
álgebras sobre una opérada es de nuevo un álgebra sobre dicha opérada. Las
opéradas de Hopf, que consideraremos en esta sección, satisfacen dicha
propiedad.
Veremos cómo las opéradas de Hopf permiten dar una descripción más sencilla
y generalizar las álgebras de Hopf de Connes-Kreimer. Para concluir
consideraremos el problema abierto de dotar de estructura de Hopf a la
opérada A-infinito.