Resumen
Nuestro trabajo consta de un total de cuatro capítulos.
El primer capítulo consistira en una introducción de los conceptos
topológicos necesarios para desarrollar las distintas herramientas que
esta teoría nos puede ofrecer. Aprenderemos lo que es un símplex de
dimensión n y un complejo simplicial, que, como la intuición nos dicta,
consistirá en un conjunto de símplices de distinta dimensión. La idea de
símplex se comenzará estudiando de una forma más abstracta para luego
pasar a la forma geométrica, viendo así de forma muy clara la relación de
la idea de símplex con triangulación de superfi cies y variedades. A
continuación, dotaremos a una complejo simplicial de una topología, lo que
nos llevará a la de finición de poliedro y triangulación de un espacio
topológico. Por último, en este capítulo veremos de forma breve el
concepto de CWcomplejo, el cual necesitaremos más adelante.
En el Capítulo 2 comenzaremos a estudiar que nos dice la Teoría de Morse
discreta. Empezaremos sabiendo qué es una función de Morse discreta, qué
es un símplex crítico y uno regular. También veremos a qué se denomina
subcomplejo de nivel c, lo cual nos ayudará con el concepto de colapso de
un complejos simplicial, explicado al fi nal del capítulo. Se verán
algunos ejemplos sencillos de funciones de Morse discretas y sus
propiedades más importantes. Por último se verá el resultado principal de
la Teoría de Morse discreta y se hará un pequeña comparación con el
teorema principal de la Teoría de Morse.
En el penúltimo capítulo utilizaremos lo aprendido sobre teoría de Morse
discreta para calcular la homología de una espacio topológico. Nos
centraremos sobre todo en la homología singular y en la homología
simplicial. A continuación daremos un breve repaso a lo que se conoce como
v desigualdades de Morse y el número de Betti.
En el cuarto y último capítulo estudiaremos el complejo de Morse. Para
ello tendremos que entender qué es el vector gradiente y el flujo
asociados a una función de Morse. Una vez visto esto, veremos cómo
interpretar los caminos gradientes asociados a una función de Morse y
veremos el resultado más importante de nuestro trabajo, el cual usará
dichos caminos y una orientación dada para poder defi nir los operadores
borde para dar como resultado el complejo de Morse. Terminaremos nuestro
trabajo aplicando lo aprendida a tres ejemplos: la circunferencia S1, la
esfera S2 y el plano proyectivo real P2.