Resumen
Dada una superficie de Riemann abierta $X$ , estudiamos los Teoremas de Gunning-Narasinham y de Kusunoki-Sainouchi, El primero, prueba que existen diferenciales holomorfas exactas y sin ceros, en otras palabras la clase del cero en $H^{1}_{dR}(X)$ admite un representante holomorfo y sin ceros. El Teorema de Kusunoki-Sainouichi es más preciso y prueba que podemos encontrar una diferencial abeliana con divisor y periodo prescritos.
Para llegar a los resultados desarrollamos diferentes herramientas de muchos campos de la Matemática, como son el Álgebra, Análisis Funcional, Análisis Real y Complejo y los rudimentos de a Geometría Diferencial en Variedades, con el fin de demostrar, en otros, el Teorema de Aproximación de Runge y el de Mergelyan-Bishop, concernientes al problema de aproximación de funciones holomorfas en compactos Runge.