Resumen
El objetivo principal de este trabajo es estudiar las
desigualdades de Hardy, tanto de tipo fuerte como de tipo débil, con pesos
y sin ellos. Este estudio se desarrollará en el primer capítulo del
trabajo. En segundo lugar, abordaremos las pruebas de unas desigualdades
relacionadas, las desigualdades de Carleman y de Carleman-Knopp. Estas
desigualdades nos motivan a estudiar la acotación del operador de medias
geométricas en el caso p = q. En tercer lugar se demostrará la desigualdad
de Hilbert, también relacionada con la de Hardy. Esta desigualdad es el
incentivo para estudiar la acotación del operador de Hilbert o
transformada de Stieltjes, y de otro operador relacionado, el operador de
Calderón.
Finalmente, en el último capítulo se exponen algunas generalizaciones de
la desigualdad de Hardy a R^n, concretamente el teorema de Sinnamon y la
desigualdad de Gagliardo-Niremberg-Sobolev.