Guía docente de Ecuaciones en Derivadas Parciales Dispersivas No Lineales (M53/56/2/14)

- Motivación y preliminares

- Ecuación de Schrodinger como modelo prototípico de las ecuaciones dispersivas

- Términos no lineales: tipos Poisson y potencia. Existencia local, global y blow-up

- Conexión con la Mecánica Clásica

El alumno sabrá/comprenderá:

-Reconocer las ecuaciones dispersivas y los métodos usuales para su estudio.

-Identificar las condiciones de existencia global de soluciones o blow-up.

El alumno será capaz de:

-Familiarizarse con las técnicas del análisis armónico y los límites asintóticos para EDPs (ecuaciones en derivadas parciales).

-Relacionar la teoría general de semigrupos con las ecuaciones de evolución.

- Conocer la alternativa de existencia de solución global o blow-up para ecuaciones evolutivas no lineales.

1. Motivación y preliminares
   • Preliminares: teoría de distribuciones y transformada de Fourier. Separación de variables para la ecuación de Schrödinger.
   • La ecuación de Schrödinger como prototipo de ecuación dispersiva. Motivación desde la mecánica cuántica y desde la óptica. Soluciones estacionarias.

2. Ecuación de Schrödinger libre dependiente del tiempo

• Leyes de conservación
• Estimas de dispersion
• Estimas de Strichartz

3. Términos no lineales I

-  Semigrupos de evolución. Teorema de Pazy

  -  No-linealidades de tipo Poisson. Existencia local de soluciones

4. Términos no lineales II

 - No-linealidades de tipo potencia. Existencia local de soluciones

 - Existencia global y blow-up. Identidades del virial.

1.  F. Castella, "L^2-solutions to the Schrödinger-Poisson system: existence, uniqueness, time behavior and smoothing effects", Math. Models Meth. Appl. Sci. 7, 1051-1083, 1997.

2. T. Cazenave, "An introduction to nonlinear Schrödinger equations". Textos de Métodos Matemáticos 26, Universidade Federal do Rio de Janeiro (2ª ed.), 1993.

3. J. Duoandikoetxea, "Fourier analysis", Graduate Studies in Mathematics, vol. 29 (AMS), 2001

4. F. Linares y G. Ponce, "Introduction to nonlinear dispersive equations", Springer 2009.

      5. A. Pazy, "Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations", Springer-Verlag, Nueva York, 1983.

• MD01 Lección magistral 
• MD02 Resolución de problemas y estudio de casos prácticos 
• MD04 Seminarios 
• MD05 Tutorías académicas 
• MD06 Realización de trabajos individuales o en grupos 

La evaluación en convocatoria ordinaria se realizará mediante los siguientes criterios:

1.       Valoración de las pruebas, ejercicios, prácticas o problemas realizados individualmente o en grupo a lo largo del curso. (20-40%).

2.       Prueba oral de evaluación, en la que se defenderán los ejercicios entregados y se responderán a distintas cuestiones sobre el curso.  (50/90%).

3.       Valoración de la asistencia y participación del alumno en clase y en los seminarios, y sus aportaciones en las actividades desarrolladas (10/30%).

Consistirá en una prueba-examen específica para la modalidad de evaluación única en la fecha establecida oficialmente para ello. La puntuación obtenida aportará el 100% de la calificación total

Aquellos estudiantes que siguiendo la Normativa de la UGR en los términos y plazos que en ella se exigen, se acojan a esta modalidad de evaluación, realizarán un solo acto académico con diversas cuestiones teórico-prácticas que garanticen que el alumno ha adquirido la totalidad de las competencias descritas en esta guía docente. La puntuación obtenida en ella representará el 100 % de la calificación final.

Información de interés para estudiantado con discapacidad y/o Necesidades Específicas de Apoyo Educativo (NEAE): Gestión de servicios y apoyos (https://ve.ugr.es/servicios/atencion-social/estudiantes-con-discapacidad).