Guía docente de Didáctica del Análisis (M05/56/1/30)

Tema 1. La investigación en Didáctica del Análisis Matemático.

• Funciones de variable real y análisis matemático en el currículo de los bachilleratos y en los planes de estudios de grado. La organización de los programas: estructura y secuenciación. Materiales y recursos para la enseñanza del cálculo y la iniciación al análisis: calculadoras gráficas y software de cálculo numérico, simbólico y de representación.
• Evolución histórica del análisis matemático. Orientaciones de la investigación didáctica sobre análisis matemático: fundamentos epistemológicos de las nociones centrales del análisis; diseño, desarrollo y evaluación de programas; la formación del profesorado de matemáticas en análisis matemático.

Tema 2. 

• Sistemas numéricos. Construcción de los conjuntos numéricos. Propiedades algebraicas y propiedades analíticas de las estructuras numéricas. Evolución histórica de los conjuntos numéricos; construcciones formales e informales; sistemas de representación.
• Procesos infinitos. Infinito potencial e infinito actual. Densidad y completitud. Conjuntos numerables y no numerables, recta real y axioma del continuo. Introducción a los números irracionales en bachillerato. Significados de los números irracionales. Conflictos epistemológicos en la historia de los sistemas numéricos.

Tema 3. Problemas, conceptos y métodos en Didáctica del Análisis.

• Sucesión numérica, límite de una sucesión, series. Convergencia de una sucesión: criterios y problemas. Fenómenos que organizan el límite finito de una sucesión y el límite infinito de una sucesión.
• Función real de una variable real. Funciones y relaciones funcionales: modelos de relaciones entre magnitudes variables para un mismo fenómeno. Evolución histórica del concepto de función.
• Límite y continuidad de una función en un punto; fenómenos que subyacen en las nociones de límite y continuidad. Fenómenos que organizan el límite finito de una función en un punto y el límite infinito de una función en un punto y en el infinito.
• Continuidad en un intervalo, propiedades de las funciones continuas en un intervalo.
• Aprendizaje de las nociones de límite y continuidad de una función real de variable real. Obstáculos. Marcos teóricos (Pensamiento Matemático Avanzado y Fenomenología)

Tema 4. Investigación en Derivación de funciones

• Gradiente de una función. Variación media e instantánea, pendiente de la recta tangente a una curva en un punto; familias de fenómenos de los que surge la noción de derivada. Derivada de una función en un punto. Derivadas laterales. Derivación y continuidad. Métodos y demostraciones en el cálculo con derivadas.
• Función derivada. Algebra de derivadas. Propiedades locales y globales de las funciones derivables. Representación de funciones derivables en un intervalo. Crecimiento y decrecimiento. Extremos de una función derivable. Teorema del valor medio y aplicaciones. Interpretación geométrica de propiedades analíticas de las funciones derivables. Dificultades y errores en el cálculo de derivadas.
• Aproximación lineal de una función en el entorno de un punto en el cual es derivable. Splines lineales, cuadráticos y cúbicos. Trazado de curvas. Conversión de una función en un polinomio: teorema de Taylor. Técnicas de ajuste y de aproximación con funciones derivables.

Tema 5. Investigación en Integración de funciones

• Medida del área bajo una curva. El problema de la cuadratura. Técnicas para medir el área; comparación y acotación; funciones escalonadas. Integral de una función continua en un intervalo; propiedades. Integral de Riemann. Funciones integrables; propiedades. Integral de Lebesgue; funciones medibles. Primitiva de una función; técnicas de cálculo de primitivas. Teorema fundamental del cálculo. Aplicaciones

Tener cursado un curso de Cálculo Infinitesimal o Análisis Matemático.

El alumno sabrá/comprenderá:

• Los fundamentos del pensamiento matemático avanzado
• Los marcos teóricos más usuales en la investigación en didáctica del análisis
• Las investigaciones más destacadas en didáctica del análisis
• Los temas de investigación actuales en didáctica del análisis

El alumno será capaz de:

• Diferenciar investigaciones fundamentadas en el pensamiento matemático avanzado
• Sintetizar y señalar los elementos básicos de una investigación en didáctica del análisis
• Diseñar un esbozo de investigación en didáctica del análisis

1. El análisis matemático como objeto de enseñanza y aprendizaje
   1. Evolución histórica
   2. Organización epistemológica
   3. Organización curricular
2. Pensamiento Matemático Avanzado. Marcos teóricos de referencia
3. Investigación en didáctica del análisis.
   1. Funciones
   2. Procesos infinitos
   3. Límites y continuidad de funciones
   4. Derivación
   5. Integración

• Azcárate, C. , Camacho, M., González, T. y Moreno, M. (Coords) (2015). Didáctica del Análisis Matemático: una revisión de las investigaciones sobre su enseñanza y aprendizaje en el contexto de la SEIEM. Universidad de la Laguna.
• Bressoud, D., Ghedamsi, I., Marıń ez-Luaces, V., y Törner, G. (2016). Teaching and learning of calculus. Springer.
• Harel, G., Selden, A., y Selden, J. (2006). Advanced mathematical thinking. En A. Gutiérrez y P. Boero (Eds.), Handbook of research on the psichology of mathematics education: Past, present and future (pp. 147-172). Sense Publishers.
• Tall, D. (1991) (Ed.), Advanced mathematical thinking. Kluwer Academic Publishers.

• Artigue, M. (1998). Enseñanza y aprendizaje del análisis elemental: ¿qué se puede aprender de las investigaciones didácticas y los cambios curriculares? Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 1(1), 40-55.
• Azcárate, C., Camacho, M., y Sierra, M. (1999). Perspectivas de investigación en didáctica de las matemáticas. investigación en didáctica del análisis. En T. Ortega (Ed.), Actas del iii seiem (pp. 283- 293). SEIEM.
• Azcárate, C., y Camacho, M. (2003). Sobre la investigación en didáctica del análisis matemático. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, X (2), 135-149.
• Badillo, E., Azcárate, C. y Font, V. (2011). Análisis de los niveles de comprensión de los objetos f’(a) y f’(x) en profesores de matemática. Enseñanza de las Ciencias, 29(2), 191-206.
• Blázquez, S., Ortega, T., Gatica, S., y Benegas, J. (2006). Una conceptualización de límite para el aprendizaje inicial de análisis matemático en la universidad. Relime, 9(2), 189-209.
• Bueno, S., Burgos, M., Godino, J. D. y Pérez, O. (2022). Significados intuitivos y formales de la integral definida en la formación de ingenieros. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 25(2), 135-168. https://doi.org/10.12802/relime.22.2521
• Camacho, M. y Depool, R. (2003). Un estudio gráfico y numérico del cálculo de la integral definida utilizando el Programa de Cálculo Simbólico (PCS) DERIVE. Educación Matemática, 15(3), 119- 140.
• Claros, F. J. (2010). Límite finito de una sucesión: fenómenos que organiza. Tesis Doctoral no publicada, Universidad de Granada.
• Claros, F. J., Sánchez, M. T. y Coriat, M. (2007). Fenómenos que organizan el límite. PNA, 1(3), 125-137.
• Claros, F. J., Sánchez, M.T. y Coriat, M. (2009). Límite de una sucesión: Respuestas de los alumnos de 1o y 2o de Bachillerato. Indivisa, Boletín de Estudios e Investigación, Monografía XII, 35-54.
• Coriat M. y Scaglia S. (2000). Representación de los números reales en la recta. Enseñanza de las Ciencias, 18(1), 25-34.
• Cornu, B. (1991). Limits. En D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 153-166). Kluwer Academic Publishers.
• Cottrill, J., Dubinsky, E., Nichols, D., Schwingendorf, K., Thomas, K., y Vidakovic, D. (1996). Understanding the limit concept: beginning with a coordinated process schema. Journal of Mathematical Behavior, 15, 167-192.
• D’Amore, B. (1996). L’infinito: storia di conflitti, di sorpreses, di dubbi. La Matematica e la sua Didattica , 3, 322-335.
• Dreyfus, T.(1990). Advanced mathematical thinking. En Nesher, P. & Kilpatrick, J. (Eds.) Mathematics and cognition. Cambridge: Cambridge University Press, 113-133.
• Dreyfus, T. (2014, September). Solid findings: Concept images in students’ mathe- matical reasonig. EMS Newsletter, 50-52.
• Dubinsky, E. (1991). Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. En D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 95-123). Kluwer Academic Publishers.
• Duval, R. (1996). Quel conitif retenir en didactique des mathématiques? Reserches en Didactique des Mathématiques, 6(3), 349-382.
• Duval, R. (1999). Representation, visio and visualization: Cognitive functions in mathematical thinking. basic issues for learning. En F. Hitt y M. Santos (Eds.), Proceedings of the 21st pme-na international conference (Vol. 1, p. 3-26).
• Edwards, B., Dubinsky, E., y McDonald, M. (2005). Advanced mathematical thinking. Mathematical Thinking and Learning, 7 (1), 15-25.
• Espinoza, l. y Azcárate, C. (2000). Organizaciones matemáticas y didácticas en torno al objeto “límite de función”: una propuesta metodológica para el análisis. Enseñanza de las Ciencias, 18(3), 355-368.
• Fernández-Plaza, J. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al concepto de límite finito de una función en un punto. un estudio exploratorio. Trabajo fin de Master no publicado, Universidad de Granada.
• Fernández-Plaza, J. A. (2015). Significados escolares del concepto de límite finito de una función en un punto. Tesis doctoral. Granada: Universidad de Granada.
• Fernández-Plaza, J.A., Ruiz-Hidalgo, J.F., Rico, L. y Castro, E. (2013). Definiciones personales y aspectos estructurales del concepto de límite finito de una función en un punto. PNA, 7 (3), 117-131.
• Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel Pub. Comp.
• Galindo-Illanes, M. K. y Breda, A. (2023). Significados de la derivada en los libros de texto de las carreras de Ingeniería Comercial en Chile. Bolema, 37(75), 271-295. https://doi.org/10.1590/1980-4415v37n75a13 
• Garbin , S. y Azcárate, C.(2001). El concepto de infinito actual. Una investigación acerca de lasincoherencias que se evidencian en alumnos de bachillerato. Suma, 38, 53-67.
• Gardiner, A. (1982). Infinite Processes. Background to Analysis. New York: Springer- Verlag.
• González Astudillo, M.T. (2011). Historia de la enseñanza del Cálculo a través de los libros.Educaçao Matemática Pesquisa, 13(3), 415-437.
• Gray, E., y Tall, D. (1991). Duality, ambiguity and flexibility in successful mathematical thinking. En F. Furinghetti (Ed.), Proceedings of the 15th pme international conference (Vol. 2, pp. 72-79).
• Guzmán, M. y Rubio, B. (1992). Problemas, conceptos y métodos del análisis matemático. Estrategias del pensamiento matemático. Madrid: Pirámide.
• Hairer, E. y Wanner, G. (1995). Analysis by its History. New Ork: Springer.
• Harel, G. and Sowder, L. (2005). Advanced Mathematical Thinking at any ages: its nature and its developments. Mathematical Thinking and Learning, 7:1, 27-50.
• Hauchart, C, Rouche, N (1987). Apprivoiser l’infini. Louvain-la-Neuve, BEL: Ciaco.
• Kaput, J. and Dubinbsky, E. (1994) Research Issues in Undergraduate Mathematics Learning. Washington DC: The Mathematical Association of America.
• Mamona-Downs, J. (2001). Letting the intuitive bear on the formal; a didactical aproach for the understanding of the limit of a sequence. Educational Studies in Mathematics, 48, 259-288.
• Mateus-Nieves, E. (2021). Epistemología de la integral como fundamento del cálculo integral. Bolema, 35(71), 1593-1615. http://dx.doi.org/10.1590/1980-4415v35n71a17
• Monaghan, M. (1982). Problems with the language of Limits. For the Learning of Mathematics, 11(3), 20-24.
• Orton, A. (1983). Students’ understanding of differentiation. Educational Studies in Mathematics, 14, 235-250.
• Przenioslo, M.(2005).Introducing the concept of convergence of a sequence in secondary school. Educational Studies in Mathematics, 60, 71-93.
• Rathnayake, R., y Jayakody, G. (2023). On intuition of the concept of limit: Real-life examples given by secondary mathematics teachers. International Journal of Research in Education and Science, 9(1), 241-265. https://doi.org/10.46328/ijres.3098
• Robert, A., y Schwarzenberger, R. (1991). Research in teaching and learning mathematics at an advanced level. En D. Tall (Ed.), Advanced mathematical thinking (pp. 127-139). Kluwer Academic Publishers.
• Romero, I. y Rico, L (1999). Representación y comprensión del concepto de número real. Una experiencia didáctica en secundaria. Ema, 4( 2), 117-151
• Salanskis, J.M. y Sinaceur, H. (1992). Le Labyrinthe du Continu. París: Springer- Verlag
• Sánchez-Matamoros, G., García, M., y Llinares, S. (2013). Algunos indicadores del desarrollo del esquema de derivada de una función. Bolema, 27(45), 281-302.
• Schwarzenberger, R. y Tall, D. (1978) Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits. Mathematics Teaching, 82, 44-49
• Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 1-36.
• Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles related to limits. Educational Studies in Math. vol 18, 371-397.
• Sierpinska, A. (1994). Understanding in Mathematics. London: The Falmer Press.
• Sierra, M., González, MT. y López, C. (1999). Evolución histórica de límite funcional en los libros de texto de bachillerato y curso de orientación universitaria: 1940-1995. Enseñanza de las Ciencias, 17(3), 463-476
• Tall, D. (1995). Cognitive growth in elementary and advanced mathematical thinking. En L. Meira y D. Carraher (Eds.), Proceedings of the 19th pme international conference (Vol. 1, p. 61-75).
• Tall, D. y Tirosh, D.(2001). Infinity – The never-ending struggle. Educational Studies in Mathematics, 2-3(48), 129-136.
• Tall, D., y Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition with a particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, 151-169. 
• Truss, J. K. (1997). Foundations of Mathematical Analysis. Oxford: Clarendon Press.
• Turégano, P. (1998). Del área a la integral. Enseñanza de las Ciencias, 16 (2), 233-249.
• Vargas, M. F. (2020). La derivada de una función desde la perspectiva de los profesores de matemática de 1º de bachillerato. Tesis doctoral no publicada. Universidad de Granada. 
• Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 14(3), 293-305.
• Vinner, S., y Hershkowitz, R. (1980). Concepts images and common cognitive paths in the development of some simple geometrical concepts. En R. Karplus (Ed.), Proceedings of the 4th pme international conference (pp. 177-184).
• Williams, S. (1991). Models of Limit held by college calculus students. Journal for Research in Mathematics Education, 22(3), 219-236.

• Grupo de investigación “FQM193 - Didáctica de la matemática. Pensamiento numérico”: http://fqm193.ugr.es
• Página web del grupo de Didáctica del Análisis de la SEIEM (GIDAM) http://www.seiem.es/grp/gidam.shtml

• MD01 Lección magistral/expositiva 
• MD02 Sesiones de discusión y debate. 
• MD05 Preparación y presentación de los trabajos 
• MD06 Análisis de fuentes y documentos 

El artículo 18 de la Normativa de Evaluación y Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada establece que la convocatoria ordinaria estará basada preferentemente en la evaluación continua del estudiante, excepto para quienes se les haya reconocido el derecho a la evaluación única final.

1. Cuestionarios (40%)
2. La calidad de los trabajos de análisis de documentos y síntesis de las sesiones (30%)
3. Trabajo final escrito (10%)
4. Defensa del trabajo final (10%)
5. La participación en las discusiones, en los foros y la observación (10%)

Criterios de evaluación

• Conocer los fundamentos del pensamiento matemático avanzado.
• Conocer y diferenciar los marcos teóricos más usuales en la investigación en didáctica del análisis.
• Diferenciar investigaciones fundamentadas en el pensamiento matemático avanzado.
• Sintetizar y señalar los elementos básicos de una investigación en didáctica del análisis.
• Diseñar un esbozo de investigación en didáctica del análisis.

El artículo 19 de la Normativa de Evaluación y Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada establece que los estudiantes que no hayan superado la asignatura en la convocatoria ordinaria dispondrán de una convocatoria extraordinaria. A ella podrán concurrir todos los estudiantes, con independencia de haber seguido o no un proceso de evaluación continua. De esta forma, el estudiante que no haya realizado la evaluación continua tendrá la posibilidad de obtener el 100% de la calificación en esta convocatoria. En esta ocasión, para la convocatoria extraordinaria se valorarán:

1. Cuestionarios (40%)
2. La calidad de los trabajos de análisis de documentos y síntesis de las sesiones (30%)
3. Trabajo final escrito (15%)
4. Defensa del trabajo final (15%)

Criterios de evaluación

• Conocer los fundamentos del pensamiento matemático avanzado.
• Conocer y diferenciar los marcos teóricos más usuales en la investigación en didáctica del análisis.
• Diferenciar investigaciones fundamentadas en el pensamiento matemático avanzado.
• Sintetizar y señalar los elementos básicos de una investigación en didáctica del análisis.
• Diseñar un esbozo de investigación en didáctica del análisis.

El artículo 8 de la Normativa de Evaluación y Calificación de los Estudiantes de la Universidad de Granada establece que podrán acogerse a la evaluación única final, el estudiante que no pueda cumplir con el método de evaluación continua por causas justificadas. Para acogerse a la evaluación única final, el estudiante, en las dos primeras semanas de impartición de la asignatura o en las dos semanas siguientes a su matriculación si ésta se ha producido con posterioridad al inicio de las clases o por causa sobrevenidas. Lo solicitará, a través del procedimiento electrónico, a la Coordinación del Máster, quien dará traslado al profesorado correspondiente, alegando y acreditando las razones que le asisten para no poder seguir el sistema de evaluación continua.

Por ello en las convocatorias oficiales se desarrollará un examen que se dividirá en los siguientes apartados:

• Prueba evaluativa escrita del temario de la asignatura.
• Trabajos escritos.

Información de interés para estudiantado con discapacidad y/o Necesidades Específicas de Apoyo Educativo (NEAE): Gestión de servicios y apoyos (https://ve.ugr.es/servicios/atencion-social/estudiantes-con-discapacidad).